Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为且经过点．M为椭圆上的动点，以M为圆心，M为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴a=2c，
∴b²=a²﹣c²=3c²
∴椭圆的标准方程可设为：
又∵过点，
∴
∴c=1
∴椭圆的标准方程为：
（2）设M（，）则半径，圆心到y轴的距离d=||
若圆M与y轴有两个交点，则有r＞d，即有，
化简得，
∵M在椭圆上，
∴，代入上不等式得
解得：，
∵﹣2≤≤2，
∴
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16，使得圆N与圆M相切，圆心N为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义知，|M|+|M|=2a=4
∴|M|=4﹣|M|
∴两圆相内切．