Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：解法一：
（1）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明PF⊥FD．
（2）设G点坐标为（0，0，m）（0≤m≤t），求出平面PFD的法向量

n

=(

t

2

，

t

2

，1)和

EG

=(-

1

2

，0，m)，要使EG∥平面PFD，只需

EG

•

n

=0，由此能求出满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．
（3）求出平面PAD的法向量和平面PFD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PD-F的余弦值．
解法二：
（Ⅰ）连接AF，则AF=

2

，DF=

2

，从而DF⊥AF，DF⊥PA，由此能证明PF⊥FD．
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=

1

4

AD…5分再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，由此能求出满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．
（Ⅲ）由已知得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°，取AD的中点M，∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，由此能求出二面角A-PD-F的余弦值．

解答： 解法一：
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．…2分
不妨令P（0，0，t）∵

PF

=(1，1，-t)，

DF

=(1，-1，0)，
∴

PF

•

DF

=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0，
∴PF⊥FD．…4分
（2）解：设平面PFD的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • PF =0 n • DF =0

，得

x+y-tz=0 x-y=0

，
令z=1，解得：x=y=

t

2

．∴

n

=(

t

2

，

t

2

，1)．   …6分
设G点坐标为（0，0，m）（0≤m≤t），E(

1

2

，0，0)，
则

EG

=(-

1

2

，0，m)，要使EG∥平面PFD，只需

EG

•

n

=0，
即(-

1

2

)×

t

2

+0×

t

2

+1×m=m-

t

4

=0，
得m=

1

4

t，从而满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．…8分
（3）解：∵AB⊥平面PAD，∴

AB

是平面PAD的法向量，
由题意得

AB

=(1，0，0)，…9分
又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为

n

=(

1

2

，

1

2

，1)…10分
∴cos?

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

，
故所求二面角A-PD-F的余弦值为

6

6

．…12分
解法二：
（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=

2

，DF=

2

，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF…2分
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴

DF⊥平面PAF PF?平面PAF

⇒DF⊥PF…4分
（Ⅱ）解：过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，
且有AH=

1

4

AD…5分
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面a₁=1∥平面PFD…7分
∴EG∥平面PFD．从而满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．…8分
（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1…9分
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，
则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角…10分
∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴

MN

PA

=

MD

PD

，
∵PA=1，MD=1，PD=

5

，且∠FMN=90°
∴MN=

5

5

，FN=

6 5

=

30

5

，
∴cos∠MNF=

MN

FN

=

6

6

．…12分．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．