Question

已知函数（，）的图象恒过定点，椭圆：

（）的左，右焦点分别为，，直线经过点且与⊙：相切．

（1）求直线的方程；

（2）若直线经过点并与椭圆在轴上方的交点为，且，求内切圆的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知定点，⊙的圆心为，半径．

①当轴时，的方程为，易知和⊙相切．……………2分

②当与轴不垂直时，设的方程为，即，

圆心到的距离为．            

由和⊙相切，得，解得．         

于是的方程为．

综上，得直线的方程为，或．       ……………4分

（Ⅱ）设，，则由，得．

又由直线的斜率为，得，．    ……………6分

于是．

有，是等腰三角形，点是椭圆的上顶点．

易知．                                          ……………8分

于是内切圆的圆心在线段上．设，内切圆半径为．则，

由点到直线的距离，解得．     ……………10分                                                     

故内切圆的方程为．                ……………12分