Question

已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=

5π

3

对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（　　）

• A、x=

  11π

  6

• B、x=

  2π

  3

• C、x=

  π

  3

• D、x=π

Answer 1

分析：函数y=sinx+acosx变为y=

1+a2

sin（x+∅），tan∅=a又图象关于x=

5π

3

对称，

5π

3

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，可求得∅=kπ-

7π

6

，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-

7π

6

）=-

3

3

，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．

解答：解：y=sinx+acosx变为y=

1+a2

sin（x+∅），（令tan∅=a）又
图象关于x=

5π

3

对称，
∴

5π

3

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，可求得∅=kπ-

7π

6

，
由此可求得a=tan∅=tan（kπ-

7π

6

）=-

3

3

，
函数y=-

3

3

sinx+cosx=

2 3

3

sin（x+θ），（tanθ=-

3

）
其对称轴方程是x+θ=kπ+

π

2

，k∈z，
即x=kπ+

π

2

-θ
又tanθ=-

3

，故θ=k₁π-

π

3

，k₁∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k₁）π+

π

2

+

π

3

=（k-k₁）π+

5π

6

，k-k₁∈z，
当k-k₁=1时，对称轴方程为x=

11π

6

故选A．

点评：本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．