Question

已知函数f(x)=

lnx

x

的图象为曲线C，函数g(x)=

1

2

ax+b的图象为直线l．
（Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：(x+m)ln

x

m

-2(x-m)＞0
（Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）构造函数H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞），通过导数法可研究出H（x）在x∈（m，+∞）单调递增，而H（m）=0，从而可使结论得证；
（Ⅱ）可利用分析法，不妨设0＜x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证（x₁+x₂）[

1

2

a（x₁+x₂）+b]＞2，只需证（x₁+x₂）[

1

2

ax22+bx₂-（

1

2

ax12+bx₁）]＞2（x₂-x₁），结合（Ⅰ）的结论即可使问题解决．

解答：证明：（1）令H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞），
则H（m）=0，要证明（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞0，
只需证H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞H（m），
∵H′（x）=ln

x

m

+

m

x

-1，
令G（x）=ln

x

m

+

m

x

-1，G′（x）=

1

x

-

m

x2

，
由G′（x）=

x-m

x2

＞0得，x＞m，
∴G（x）在x∈（m，+∞）单调递增，
∴G（x）＞G（m）=0
H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）单调递增．
H（x）＞H（m）=0，
∴H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞0，
（2）不妨设0＜x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，
只需证（x₁+x₂）[

1

2

a（x₁+x₂）+b]＞2，
只需证（x₁+x₂）[

1

2

ax22+bx₂-（

1

2

ax12+bx₁）]＞2（x₂-x₁），
∵

lnx1

x1

=

1

2

ax₁+b，

lnx2

x2

=

1

2

ax₂+b，
即（x₁+x₂）ln

x2

x1

＞2（x₂-x₁）（*），
而由（1）知（*）成立．
所以（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞）是关键，探讨H（x）在x∈（m，+∞）单调递增是难点，突出考查分析法证题的作用，属于难题．