Question

如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，E是OC的中点。

（1）求O点到面ABC的距离；

（2）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

∵OB＝OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，

∴BC⊥面OAD，过O点作OH⊥AD于H，

则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。

∵OA⊥OB、OA⊥OC，

∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD。

，在直角三角形OAD中，有。

（另解：由知，。）

（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。求得：，。

cos∠BEM＝。

（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。

∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB。又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，

则∠EFC就是所求二面角的平面角，作EG⊥CF于G，则

，

在直角三角形OAB中，，

在直角三角形OEF中，，

Sin∠EFG＝（或表示为）

方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。