Question

在平面直角坐标系x0y中，已知点A（-，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（-，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），将y=k（x-1）代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=-，由此能求出点P纵坐标的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（-，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-，
∴，
整理，得，x≠，
∴动点E的轨迹C的方程为，x．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
将y=k（x-1）代入，并整理，得
（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=8k²+8＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，x₁x₂=，
设MN的中点为Q，则，，
∴Q（，-），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=-，
令x=0，得y_P=，
当k＞0时，∵2k+，∴0＜；
当k＜0时，因为2k+≤-2，所以0＞y_P≥-=-．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[-]．
点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．