Question

（1）已知

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x=0且0≤x≤π，求x的值；
（2）记f（x）=

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x（x∈R），求f（x）的最大值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左边第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，再根据同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到tan2x的值，根据x的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出x的值；
（2）把函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出函数的最大值及取最大值时x的值．

解答：解：（1）∵

2

sin（

π

4

+2x）-2cos2x=sin2x-cos2x=0⇒tg2x=1，
∴2x=kπ+

π

4

⇒x=

kπ

2

+

π

8

 ， k∈Z，又0≤x≤π，
∴x=

π

8

或x=

5π

8

；
（2）f(x)=sin2x-cos2x=

2

 sin (2x-

π

4

)，
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

 ， k∈Z时，f(x)max=

2

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域及值域，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．