题目内容

在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜
2
)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，
π
2
]
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（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=900且a=
2
2
．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=
1
2
DE•EAsin45°=
2
4
，
∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=
2
4
．
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，
∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵
MM1
AB
=
FM
FA
=
CN
CE
=
NN1
EF
，∴MM1=NN1
∴四边形MNN1M1为平行四边形，
∴MN∥N1M1，又MN?面BCF，N1M1?面BCF，∴MN∥面BCF．
证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则
CN
NE
=
FM
MA
=
FG
GE
，∴NG∥CF．
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又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
∵θ=900且a=
2
2
．∴NQ=
1
2
，MQ=
(
1
2
)2+(
2
2
)2
=
3
2
∴MN=
2
2
，--
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--
∴cos∠NMQ=
QM2+MN2-NQ2
2MN•QM
=
6
3
．
即MN与AC所成角的余弦值为
6
3
．
证法二：∵θ=900且a=
2
2
．
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(
1
2
，
1
2
，0)，N(
1
2
，0，
1
2
)，得
AC
=(-1，-1，1)，
MN
=(0，-
1
2
，
1
2
)，
∴cos＜
AC
，
MN
＞=
1
3
•
2
2
=
6
3
，
所以与AC所成角的余弦值为
6
3
．
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2
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π
2
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（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
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2
2
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2
2
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（Ⅱ）在（I）的条件下，过点F做直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设
FA
=λ
FB
，点T坐标为（2，0），若λ∈[-2，-1]，求|
TA
+
TB
|的取值范围．
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（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．
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（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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