题目内容

（2013•揭阳二模）在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜
2
)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，
π
2
]
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=900且a=
2
2
．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．
分析：（1）利用已知条件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的体积计算公式即可得出；
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，可证明四边形MNN1M1为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
证法二：点M作MG⊥EF交EF于G，可证平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性质定理即可证明；
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，得∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，利用余弦定理求出即可；
证法二：建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出．
解答：解：（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=
1
2
DE•EAsin45°=
2
4
，
∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=
2
4
．
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，
∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵
MM1
AB
=
FM
FA
=
CN
CE
=
NN1
EF
，∴MM1=NN1
∴四边形MNN1M1为平行四边形，
∴MN∥N1M1，又MN?面BCF，N1M1?面BCF，∴MN∥面BCF．
证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则
CN
NE
=
FM
MA
=
FG
GE
，∴NG∥CF．
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
∵θ=900且a=
2
2
．∴NQ=
1
2
，MQ=
(
1
2
)2+(
2
2
)2
=
3
2
∴MN=
2
2
，----
∴cos∠NMQ=
QM2+MN2-NQ2
2MN•QM
=
6
3
．
即MN与AC所成角的余弦值为
6
3
．
证法二：∵θ=900且a=
2
2
．
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(
1
2
，
1
2
，0)，N(
1
2
，0，
1
2
)，得
AC
=(-1，-1，1)，
MN
=(0，-
1
2
，
1
2
)，
∴cos＜
AC
，
MN
＞=
1
3
•
2
2
=
6
3
，
所以与AC所成角的余弦值为
6
3
．
点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、三棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角的定义、余弦定理、通过建立空间直角坐标系利用两条异面直线的方向向量的夹角求得异面直线的夹角．
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2
3
3
2
3
3
．
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