Question

（2013•日照一模）已知长方形EFCD，|EF|=2，|FC|=

2

2

．以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，过点F做直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设

FA

=λ

FB

，点T坐标为（2，0），若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定E，F，C的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求|

TA

+

TB

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得点E，F，C的坐标分别为（-1，0），（1，0），（1，

2

2

）．
设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
则2a=|EC|+|FC|=2

2

＞2，∴a=

2

，
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程是

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=ky+1，
代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数关系，得y₁+y₂=-

2k

k2+2

①，y₁y₂=-

1

k2+2

②，…（7分）
因为

FA

=λ

FB

，所以

y1

y2

=λ且λ＜0，所以将上式①的平方除以②，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

，
即

(y1+y2)2

y1y2

=-

4k2

k2+2

，所以λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]⇒-

5

2

≤λ+

1

λ

≤-2⇒-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0⇒-

1

2

≤-

4k2

k2+2

≤0⇒k2≤

2

7

，
即0≤k2≤

2

7

．
∵

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），
∴

TA

+

TB

=（x₁+x₁-4，y₁+y₂）
又y₁+y₂=-

2k

k2+2

，x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-

4(k2+1)

k2+2

．
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(k2+1)2

(k2+2)2

+

4k2

(k2+2)2

=

16(k2+2)2-28(k2+2)+8

(k2+2)2

=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

．…（11分）
令t=

1

k2+2

，因为0≤k2≤

2

7

，所以

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，

7

16

≤t≤

1

2

，|

TA

+

TB

|2=16-28t+8t2=8(t-

7

4

)2-

17

2

，
因为

7

16

≤t≤

1

2

，所以|

TA

+

TB

|2∈[4，

169

32

]，|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考试学生的计算能力，属于中档题．