Question

【题目】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）直线的方程为或．

【解析】

（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差.

（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.

（1）因为，，所以线段的中点坐标为，

直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即．

圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：，

所以圆心的坐标是．

圆的半径长，

所以圆心为的圆的标准方程是．

（2）因为，所以在圆内.

又因为直线被圆截得的弦长为，

所以圆心到直线的距离

①当直线的斜率不存在时，，

到的距离为，符合题意．

②当直线的斜率存在时，设，即．

所以，，

解得，直线为：，即：

综上：直线的方程为或．