Question

在120°的二面角α-l-β内有一点P，P在平面α、β内的射影A、B分别落在半平面αβ内，且PA=3，PB=4，则P到l的距离为

 

．

Answer 1

分析：由已知中在120°的二面角α-l-β内有一点P，P在平面α、β内的射影A、B分别落在半平面αβ内，且PA=3，PB=4，我们易求出AB的长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到P到l的距离即为△PAB的外接圆直径，利用正弦定理，求出圆的直径即可得到答案．

解答：解：∵在120°的二面角α-l-β内有一点P，
P在平面α、β内的射影A、B分别落在半平面αβ内，
∴∠APB=60°
又∵PA=3，PB=4，
∴AB=

PA2+PB2-2PA•PB•cos∠APB

=

13

，
而P到l的距离即为△PAB的外接圆直径，
由正弦定理得2R=

AB

sin∠APB

=

13

3 2

=

2 39

3

，
故答案为：

2 39

3

．

点评：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，二面角的平面角及求法，其中将空间问题转化为平面问题后，得到P到l的距离即为△PAB的外接圆直径是解答本题的关键．