Question

（2008•和平区三模）在120°的二面角内放一个半径为6的球，与两个半平面各有且仅有一个公共点，则这两点间的球面距离是

2π

．

Answer 1

分析：作出经过球心且与二面角的棱垂直的截面，得到如图所示的平面图形．由题意，可得该四边形中∠APB=120°，OA⊥AP且OB⊥PB，从而算出∠AOB=60°，再利用球面距离计算公式即可算出答案．

解答：解：作出过球心且与二面角的棱垂直的截面，得到如图所示的平面图形
设球心为O，两个切点分别为A、B，平面AOB交二面角的棱于点P
由题意可得∠APB=120°，连结OA、OB，
根据切线的性质得：OA⊥AP且OB⊥PB
∴四边形AOPB中，∠AOB=180°-120°=60°
因此，A、B之间的球面距离为l=

1

6

×2πR=

1

3

×π×6=2π
故答案为：2π

点评：本题给出张角为120度的二面角的一个内切球的问题，求两点间的球面距离，着重考查了圆的切线性质、二面角的定义和球面距离计算等知识，属于基础题．