Question

给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱；
②若f（x）是单调函数，则f（x）与它的反函数f ^-1（x）具有相同的单调性；
③若两平面垂直相交于直线m，则过一个平面内一点垂直于m的直线就垂直于另一平面；
④在120°的二面角内放一个半径为6的球，使它与两个半平面各有且仅有一个公共点，则球心到这个二面角的棱的距离是2

3

．其中，不正确命题的序号为

①

．

Answer 1

分析：①当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱；当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱；
②若f（x）是单调函数，必然存在反函数，根据互为反函数的两个函数关于y=x对称，故具有相同的单调性；
③根据面面垂直的性质定理可知，结论正确；
④由题意可得，∠APB=120°，根据切线的性质可得，OA⊥AP，OB⊥PB，从而可得∠AOB=60°，从而可求球心到这个二面角的棱的距离

解答：解：①当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱；当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱，故①错；
②若f（x）是单调函数，必然存在反函数，根据互为反函数的两个函数关于y=x对称，可知②正确；
③根据面面垂直的性质定理可知，若两平面垂直相交于直线m，则过一个平面内一点垂直于m的直线就垂直于另一平面，故正确；
④由题意可得，∠APB=120°，连接OA，OB，则根据切线的性质可得，OA⊥AP，OB⊥PB
∴∠AOB=60°
∴球心到这个二面角的棱的距离是OP=2

3

，故正确．
故答案为：①

点评：本题以命题为载体，考查立体几何中的概念与性质，解题时应一一判断，正确运用相关定理．