Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n+1=2λS_n+1 （λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若bn=2+lo

g	1 |an| 1 2

，n∈N^*，n∈R，设T_n为数列

1

n(bn+1)

的前n项和，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，知a₃=S₃-S₂=4λ²，再由a₃=4，λ＞0，能求出λ．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），故数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以Sn=2n-1，由此能求出an=2n-1（n∈N^*）．
（3）由bn=2+2log

1

2

|

1

an

|=2+2log₂a_n=n+1．知

1

n(bn+1)

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求法和能证明数列

1

n(bn+1)

的前n项和Tn＜

3

4

．

解答：解：（1）由S_n+1=2λS_n+1，
得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，
S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，
又∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．n≥2
∵当n=1时，a₁=1满足an=2n-1，∴an=2n-1（n∈N^*）．
（3）∵bn=2+2log

1

2

|

1

an

|
=2+2log₂a_n
=log2(4•2n-1)
=log22n+1
=n+1．
∴

1

n(bn+1)

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列

1

n(bn+1)

的前n项和：
T_n=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，
∵T₁=

1

3

＜

3

4

，
∴Tn＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的证明和不等式证明，解题时要认真审题，注意迭代法、构造法和裂项求和法的合理运用．