题目内容
【题目】如图，已知
、
两个城镇相距20公里，设
是
中点，在的中垂线上有一高铁站
，
的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点
（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路
造价为1.5百万元/公里，快速路
造价为1百万元/公里，快速路
造价为2百万元/公里，设
，总造价为
(单位：百万元).
（1）求关于
的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）
，(
)（2）最小值为
，此时
【解析】
（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到
；
（2）构造函数
，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值。
(1)
,
，
，
，
(2)设
则
令
，
又，所以.
当
,
,
,
单调递减；
当
,
,
,单调递增；
所以
的最小值为
.
答：
的最小值为(百万元)，此时
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