Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，
（1）F₁，F₂是左右两焦点，过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(

2

，1)，求双曲线方程．
（2）若y=kx+1与（1）中双曲线左支交于A，B，有一直线l过AB中点和L（-2，0），求l在y轴上截距取值范围．

Answer 1

分析：（1）由过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(

2

，1)，知c=

2

，设所求的双曲线为

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，把点M(

2

，1)代入，得a²=1，由此能求出双曲线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点（x₀，y₀），（1-k²）x²-2kx-2=0，x0=

k

1-k2

，y0=

1

1-k2

，由x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，能够导出l在y轴上截距取值范围．

解答：（1）∵过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(

2

，1)，
∴c=

2

，
设所求的双曲线为

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，
把点M(

2

，1)代入，得a²=1，
∴双曲线方程x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB中点（x₀，y₀）
(2)

x2-y2=1 y=kx+1

，（1-k²）x²-2kx-2=0，
x0=

k

1-k2

，y0=

1

1-k2

，
∵x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
△＞0，k∈(1，

2

)，l，y=

1 1-k2

k 1-k2

(x+2)(2′)（2′）
l，y=

1

k+2-2k2

(x+2)，x=0，y=

2

k+2-2k2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵k∈(1，

2

)，∴y∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)（5′）

点评：本题考查双曲线方程的求法和l在y轴上截距取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．