Question

（本小题满分14分）

如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，平面⊥平面，得到四棱锥，，设、的中点分别为、，

（1）求证：平面⊥平面

（2）求证： 

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析(2)见解析(3)

【解析】

试题分析：（1）证明:平面平面,交线为, ,   

平面.

, 两两互相垂直，

以为原点建立空间直角坐标系,                                                ……2分

因为为等腰直角三角形，且，则，

则,，，，.

,,,

,,

平面,又平面

平面⊥平面.                                                   ……5分

（2）分别为的中点,,.

设平面的法向量,由于

则   即 ,,令，则, .

, 即//平面.                                   ……9分

（3）由（2）可知平面的法向量 ，由于平面的法向量为,

设平面与平面所成锐二面角为，则

.                                                 ……14分

考点：本小题主要考查线面垂直、线面平行的判定以及二面角的求法，考查了逻辑思维能力与空间想象能力.

点评：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，如果题目中没有说明，则要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.