Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左右焦点分别为F₁，F₂，若过点P（0，-2）及F₁的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：根据题意，算出直线AB方程为y=-2x-2，与椭圆方程消去x得9y²+4y-4=0．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根与系数的关系结合配方的方法算出|y1-y2|=

4 10

9

，最后根据三角形面积公式即可算出△ABF₂的面积．

解答：解：由题意，得
∵椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点为F₁（-1，0），点P（0，-2）
∴直线PF₁的斜率为k=-2，得直线AB方程为y=-2（x+1），化简得y=-2x-2
由

y=-2x-2 x2 2 + y2 1 =1

消去x，可得9y²+4y-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

4

9

，y₁y₂=-

4

9

因此，可得|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 10

9

∵椭圆的焦距为|F₁F₂|=2
∴△ABF₂的面积为S =

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

4 10

9

．

点评：本题给出直线PF₁与椭圆相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．着重考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．