Question

证明：若f（x）对定义域内的任意x都有f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

（a≠0），则T=4a．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：将已知中的x用x+a代替，得到f（x+a）═-

1

f(x)

，再将其中的x用x+a代替，得证．

解答： 证明：∵f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

（a≠0），
∴f（x+2a）=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4a）=-

1

f(x+a)

=f（x）
∴f（x）的周期为T=4a．

点评：本题考查函数周期性的定义，属于一道基础题，解决的关键是仿写出其他的等式．