Question

12．已知四面体ABCD，下列命题：
①若AB⊥CD，则AC⊥BD；
②若AC=BC=AD=BD，则AB⊥CD；
③若点E，F分别在BC，BD上，且CD∥平面AEF，则EF是△BCD的中位线；
④若E是CD中点，则CD⊥平面ABE；
⑤在棱AB上任取一点P，使三棱锥P-BCD的体积与四面体ABCD的体积比大于$\frac{1}{3}$的概率为$\frac{2}{3}$．
其中正确的命题的序号是②⑤（填写所有真命题序号）

Answer 1

分析 利用特例判断①的正误；利用直线与平面垂直的判定定理以及性质定理判断②的正误；利用直接推理判断③的正误；利用特例判断④的正误；利用几何概型求解判断⑤的正误；

解答 解：①如图：（1）四面体满足AB⊥CD，但是AC⊥BD不成立；①不正确；

②如图：（2），AC=BC=AD=BD，去AB的中点E，连结EC，ED，可知AB⊥平面CDE，则AB⊥CD；②正确；

③点E，F分别在BC，BD上，且CD∥平面AEF，则EF∥CD，EF不一定是△BCD的中位线；所以③不正确；
④如图（4），若E是CD中点，则CD⊥平面ABE，显然不正确；

⑤在棱AB上任取一点P，使三棱锥P-BCD的体积与四面体ABCD的体积比大于$\frac{1}{3}$，则P到B的距离大于$\frac{1}{3}$，
两个棱锥的底面面积相同，所以所求的概率为$\frac{2}{3}$．正确．
故答案为：②⑤．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，棱锥的特征以及直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何概型的求法，考查计算能力以及空间想象能力．