Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，且AB=2BC=4，PA=AD=3，∠ABC=60°，E是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PAC；
（2）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAE，并求此时AD与平面AGC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得AD⊥AC，由线面垂直得AD⊥AP，由此能证明AD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出G（-2$\sqrt{3}$，1，2），由此能求出AD与平面AGC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵AB=2BC=4，∠ABC=60°，E是BC的中点，
∴AC=$\sqrt{16+4-2×4×2×60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²=BC²+AC²，
∵底面ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，
∴AD⊥AC，
∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥AP，
∵AP∩AC=A，∴AD⊥平面PAC．
（2）解：以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得C（2$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（2$\sqrt{3}$，-1，0），
设$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PD}$，0≤t≤1，设G（a，b，c），
则（a，b，c-3）=t（0，3，-3），∴G（0，3t，3-3t），∴$\overrightarrow{CG}$=（-2$\sqrt{3}$，3t，3-3t），
$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），
设平面APE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2$\sqrt{3}$，0），
∵CG∥平面PAE，∴$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{n}$=-2$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}t$=0，解得t=$\frac{1}{3}$，∴G（-2$\sqrt{3}$，1，2），
$\overrightarrow{AD}$=（0，3，0），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AG}$=（-2$\sqrt{3}$，1，2），
设平面ACG的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}=-2\sqrt{3}a+b+2c=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），
设AD与平面AGC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{195}}{65}$．
∴AD与平面AGC所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{195}}{65}$．

点评 本题考查线面垂直的证明、考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．