Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，S_n和S_n+1满足等式Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
（Ⅰ）求S₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{

Sn

n

}是等差数列；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足bn=an•2an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅳ）设Cn=

Tn

22n+3

，求证：C1+C2+…+Cn＞

20

27

．

Answer 1

分析：（I）由已知中Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，令n=1可得S₂的值；
（Ⅱ）由已知中Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，两边同除n+1后整理得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，即{

Sn

n

}是等差数列；
（Ⅲ）由（II）由出S_n的解析式，进而求出数列{a_n}的通项公式，进而利用错位相减法，求出数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅳ）由（III）由出数列{c_n}的通项公式，利用分组分解法（拆项法）求出它的前n项和，进而可证得结论．

解答：解：（I）∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
当n=1时，S₂=2S₁+2=2a₁+2=8
故S₂=8
证明：（II）∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1
∴

Sn+1

n+1

=

Sn

n

+1，即

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
又由

S1

1

=a₁=3，
故{

Sn

n

}是以3为首项，以1为公差的等差数列
（III）由（II）可知，

Sn

n

=n+2
∴Sn=n2+2n(n∈N*)
∴当n=1时，a₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
经检验，当n=1时也成立
∴a_n=2n+1（n∈N*）

bn=an•2an ∴bn=(2n+1)•22n+1， Tn=b1+b2+…+bn-1+bn ∴Tn=3•23+5•25+…+(2n-1)•22n-1+(2n+1)•22n+1

∴4Tn=3•25+…+(2n-3)•22n-1+(2n-1)•22n+1+(2n+1)•22n+3
解得：Tn=(

2

3

n+

1

9

)•22n+3-

8

9

．
（Ⅳ）∵Cn=

Tn

22n+3

=

2n

3

+

1

9

-

1

9

•(

1

4

)n
∴C1+C2+…+Cn=

2

3

•

n(n+1)

2

+

1

9

•n-

1

9

•

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3n2+4n

9

-

1

27

+

1

27

•(

1

4

)n＞

3n2+4n

9

-

1

27

≥

7

9

-

1

27

=

20

27

．

点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，数列求和，数列的递推公式，熟练掌握数列求和的方法及等差数列，等比数列的证明方法是解答的关键．