题目内容
【题目】已知数列{an}，{bn}满足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．
（1）若a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2．
（ⅰ）记cn＝a6n－1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；
（ⅱ）若数列
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．
【答案】（1）an＝
（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（1）利用叠加法求数列{an}的通项公式：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝（2）（ⅰ）利用定义证等差数列：cn＋1－cn＝
a6n＋5－a6n－1为常数，由bn＋1bn－1＝bn得{bn}为周期数列，再由bn＝an＋1－an得a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝7（ⅱ）由（ⅰ）知数列{a6(n－1)＋i}均为以7为公差的等差数列，而
，因此ai＝
时，重复出现无数次，因此
依次类推得a1∈{
，
，
，－
，－
}数列
中必有某数重复出现无数次；当a1B时，最多出现一次
试题解析：解：（1）当n≥2时，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝
又a1＝1也满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝
（2）（ⅰ）因为对任意的n∈N*，有bn＋6＝
＝bn，
所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1
＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4
＝1＋2＋2＋1＋
＋＝7
所以，数列{cn}为等差数列．
（ⅱ）设cn＝a6(n－1)＋i(n∈N*)（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
所以cn＋1－cn＝a6(n－1)＋6＋i－a6(n－1)＋i
＝b6(n－1)＋i＋b6(n－1)＋i＋1＋b6(n－1)＋i＋2＋b6(n－1)＋i＋3＋b6(n－1)＋i＋4＋b6(n－1)＋i＋5＝7，
即数列{a6(n－1)＋i}均为以7为公差的等差数列．
设fk＝（其中n＝6k＋i， k≥0，
i为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）
当ai＝时，对任意的n＝6k＋i，有
；
当ai≠时，fk＋1－fk＝
－
＝
①若ai＞，则对任意的k∈N有fk＋1＜fk，所以数列{
}为递减数列；
②若ai＜，则对任意的k∈N有fk＋1＞fk，所以数列{}为递增数列．
综上所述，集合B＝{}∪{}∪{}∪{－}∪{－}＝{，，，－，－}．当a1∈B时，数列中必有某数重复出现无数次；当a1B时，数列{}(i＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．16分
【题目】随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查
人,并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） |
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频数 |
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赞成人数 |
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（1）世界联合国卫生组织规定: 
岁为青年， 
为中年，根据以上统计数据填写以下
列联表：
青年人 | 中年人 | 合计 | |
不赞成 | |||
赞成 | |||
合计 |
（2）判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下，认为赞成“车柄限行”与年龄有关？
附： 
，其中
独立检验临界值表：
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（3）若从年龄
的被调查中各随机选取
人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为
，求随机变量
的分布列和数学期望
.
【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 | 频数 | 频率 |
| 10 | 0.25 |
| 25 |
|
|
|
|
| 2 | 0.05 |
合计 |
| 1 |
（1）求出表中
及图中
的值；
（2）试估计他们参加社区服务的平均次数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少1人参加社区服务次数在区间
内的概率.
