Question

已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列{}的前n项和，求；
（3）设，证明：.

Answer 1

(1)  (2)  （3）见解析

试题分析：
(1)当带入式子结合即可得到的值,当时,利用与的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.
(2)把(1)中得到的的通项公式带入可得,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求的前n项和.
(3)把(1)得到的带入,观察的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项,在进行求和就可以得到的前n项和为,利用非负即可证明原不等式.
试题解析：
（1）由题意，当时，有，     （1分）
两式相减得 即.           （2分）
由，得.
所以对一切正整数n，有，                        （3分）
故，即.                （4分）
（2）由（1），得，
所以 ①                           （5分）
①两边同乘以，得 ②          （6分）
①-②，得，                 （7分）
所以，                                    （8分）
故.                    （9分）
（3）由（1），得 （12分）

                  （13分）
.              （14分）