Question

Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为80，M为AC的中点．

(1)求证：PM⊥AC；

(2)求P到直线AC的距离；

(3)求PM与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC 　　解：(2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80， 　　∴PM＝，即P到直线AC的距离为82； 　　(3)∵PM＝PB＝PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心， 　　∵∠C＝90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H． 　　∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影， 　　则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝

提示：

点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．