Question

已知P是⊙O：x²+y²=1上一动点，线段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一条动直径（A，B是直径的两端点），则

PA

•

PB

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用,直线与圆的位置关系,直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：设出P、A、B坐标，求出两个向量，然后计算数量积，利用两角和与差的三角函数化简求解表达式的最值即可．

解答： 解：P是⊙O：x²+y²=1上一动点，设P（cosα，sinα），
线段AB是⊙C：（x-3）²+（y-4）²=1的一条动直径（A，B是直径的两端点），
设A（3+cosθ，4+sinθ），则B（3-cosθ，4-sinθ），
∴

PA

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)，

PB

=(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)，

PA

•

PB

=(3+cosθ-cosα，4+sinθ-sinα)•(3-cosθ-cosα，4-sinθ-sinα)
=25-6cosα-8sinα
=25-10sin（α+β），tanβ=

3

4

．
又sin（α+β）∈[-1，1]，
∴

PA

•

PB

∈[15，35]．
故答案为：[15，35]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，参数方程的应用，两角和与差的三角函数以及三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．