Question

在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．

 

Answer 1

证明（1）∵O，D分别为AB，PB的中点，
∴OD∥PA又PA伡平面PAC，OD∥平面PAC
∴OD∥平面PAC．
（2）连接OC，OP
∵，O为AB中点，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．又，
∴PC2=OC2+PO2=2，
∴∠POC=90°．
∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．PO伡平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABC．
（3）由（2）可知OP垂直平面ABC，
∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=1
∴．