Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别为AD，A₁B₁，C₁C的中点．
（1）求证：BD₁⊥平面MNP；
（2）求A₁C与平面MNP所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D点坐标原点，DA，DC，DD₁方向建立空间坐标系，利用向量法，可得BD₁⊥MN，BD₁⊥MP，进而由线面垂直的判定定理得到BD₁⊥平面MNP
（2）根据（1）中结论，

BD1

即为平面MNP的法向量，求出直线A₁C的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A₁C与平面MNP所成角的余弦值．

解答：解：（1）以D点坐标原点，DA，DC，DD₁方向建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∵M，N，P分别为AD，A₁B₁，C₁C的中点
∴B（2，2，0），D₁（0，0，2），M（1，0，0），N（0，2，1），P（2，1，2）
则

BD1

=（-2，-2，2），

MN

=（-1，2，1），

MP

=（1，1，2）
易得

BD1

•

MN

=0，

BD1

•

MP

=0，
即BD₁⊥MN，BD₁⊥MP
则BD₁⊥平面MNP
（2）由（1）中结论，

BD1

即为平面MNP的法向量
又由A₁（2，0，2），C（0，2，0）
则

A1C

=（-2，2，-2）
设A₁C与平面MNP所成角为θ
则sinθ=|

BD1 • A1C

|BD1| • |A1C|

|=

1

3

则cosθ=

2 2

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是建立坐标系利用向量数量积为0得到线线垂直，（2）的关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．