Question

（2010•唐山二模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是上底面A₁B₁C₁D₁的中心，则异面直线OC与BC₁所成角的余弦值为

3

6

．

Answer 1

分析：建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD₁所在直线为竖轴，再给出各点的坐标，求出两个向量的坐标，利用公式求出夹角的余弦值即可．

解答：解：
建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD₁所在直线为竖轴．
设正方体棱长为a．
则A（a，0，0），D（0，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0）C₁（0，a，a） A₁（a，0，a）．
因为O为A₁，C₁的中点
∴O（

a

2

，

a

2

，a）．
∴

BC1

=（-a，0，a），

OC

=（-

a

2

，

a

2

，-a）．
∴cos＜

OC

•

BC 1

＞=

OC • BC 1

| OC |•| BC 1 |

=

(-a)(- a 2 )+0• a 2 +(-a)•a

(-a)2+02+a2 • (- a 2 )2+( a 2 )2+(-a)2

=-

3

6

．
∴异面直线OC与BC₁所成角的余弦值为

3

6

．
故答案为：

3

6

．

点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，解答本题，关键是掌握住向量法求夹角的公式，向量在几何中的应用是高中数学引入向量的一大亮点，它大大降低了立体几何解题的思维难度，应好好总结此类题做题的规律．