题目内容
椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F1，F2，在x轴的两端点分别为A，B，四边形F1AF2B是边长为4的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且
=3
，求直线l的方程．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且
| MP |
| PN |
分析：（1）由四边形F1AF2B是边长为4的正方形，可得b，c的值，进而可求a值，即可求得椭圆方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及
=3
，即可求直线l的方程．
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及
| MP |
| PN |
解答：解：（1）由题意，b=c=2
，∴a2=b2+c2=16，∴椭圆方程为
+
=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，可得（k2+2）x2+6kx-7=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∵
=3
，∴x1=-3x2，
∴-2x2=
，-3x22=
∴(
)2=
∴27k2=7k2+14
∴k2=
∴k=±
∴直线l的方程为y=±
x+3．
| 2 |
| y2 |
| 16 |
| x2 |
| 8 |
（2）设直线l的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，可得（k2+2）x2+6kx-7=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| -6k |
| k2+2 |
| -7 |
| k2+2 |
∵
| MP |
| PN |
∴-2x2=
| -6k |
| k2+2 |
| -7 |
| k2+2 |
∴(
| -3k |
| k2+2 |
| 7 |
| 3(k2+2) |
∴27k2=7k2+14
∴k2=
| 7 |
| 10 |
∴k=±
| ||
| 10 |
∴直线l的方程为y=±
| ||
| 10 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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附加题：如图，过椭圆C：