Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点，若点P满足

OP

+

OA

+

OB

=

0

（O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线，联立消去一个未知数，令△=0即可得到b．再利用椭圆C的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形即可得到a=

2

b，即可得到a．
（2）把直线l的方程与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用点P满足

OP

+

OA

+

OB

=

0

（O为坐标原点）即可得到点P的坐标，判断是否满足椭圆方程即可．

解答：解：（1）联立

x-y-b=0 x2=4y

，消去y得到x²-4x+4b=0．
∵直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

．故所求的椭圆方程为

y2

2

+x2=1．
（2）由

y=x-1 y2 2 +x2=1

得3x²-2x-1=0，解得x1=1，x2=-

1

3

，
∴A(1，0)，B(-

1

3

，-

4

3

)，
设P（x，y），∵

OA

+

OB

+

OP

=

0

，
∴

OA

+

OB

+

OP

=(1-

1

3

+x，0-

4

3

+y)=（0，0），
解得x=-

2

3

，y=

4

3

，∴P(-

2

3

，

4

3

)，
把点P(-

2

3

，

4

3

)代入椭圆方程

y2

2

+x2=1，得

1

2

(

4

3

)2+(-

2

3

)2=

4

3

≠1，
∴点P不在椭圆C上．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相切相交问题、向量运算等是解题的关键．