题目内容

P为椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，A、B为圆O：x2+y2=b2上的两个不同的点，直线AB分别交x轴，y轴于M、N两点且
PA
•
OA
=0，
PB
•
OB
=0，O为坐标原点．
（1）若椭圆的准线为y=±
25
3
，并且
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
，求椭圆C的方程．
（2）椭圆C上是否存在满足
PA
•
PB
=0的点P？若存在，求出存在时a，b满足的条件；若不存在，请说明理由．
分析：（1）直接根据条件求出PA与PB，进而得到AB的方程，求出M、N两点的坐标，代入
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
，可以得到关于a，b的等式；再结合椭圆的准线为y=±
25
3
，即可求出a，b的值，进而求出椭圆C的方程．
（2）先假设存在P（x0，y0）满足要求，得到OBPA为正方形，即|OP|=
2
b，转化为关于点P（x0，y0）的等式；再结合P（x0，y0）在椭圆上，即可求出点P（x0，y0）的坐标所满足的等式，再通过讨论即可得到结论．
解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
易求得PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，
则x1x0+y1y0=b2，x2x0+y2y0=b2
于是AB：x0x+y0y=b2（x0y0≠0），
可求得M(
b2
x0
，0)N(0，
b2
y0
)
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
a2
b4
x
2
0
+
b2
b4
y
2
0
=
a2
x
2
0
b4
+
b2
y
2
0
b4
=
a2
b2
(
x
2
0
b2
+
y
2
0
a2
)=
a2
b2
=
25
16

再由条件
a2
c
=
25
3
，以及a2-b2=c2易得a=5，b=4，
于是所求椭圆为
y2
25
+
x2
16
=1，
（2）设存在P（x0，y0）满足要求，则当且仅当OBPA为正方形．
|OP|=
2
b，即x02+y02=2b2…（1），
又因为：
y
2
0
a2
+
x
2
0
b2
=1(a＞b＞0)…(2)
解（1）（2）得
x
2
0
=
b2(a2-2b2)
a2-b2
，
y
2
0
=
b2a2
a2-b2

所以   （ⅰ）当a＞
2
b＞0时，存在P（x0，y0）满足要求；
（ⅱ）当0＜b＜a＜
2
b时，不存在P（x0，y0）满足要求．
点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题．圆与圆锥曲线同属于几何内容，都可以用解析法研究（都是二次曲线）．所以要特别关注圆与圆锥曲线在一些题目中的交汇、综合．
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，上、下顶点分别为A1，A2，椭圆上的点到上焦点F1的距离的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）以原点为顶点，F1为焦点的抛物线上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q、R两点，若
PQ
=λ
PR
，求λ的值．
（3）是否存在过点（0，m）的直线l，使得l与椭圆相交于A、B两点（A、B不是上、下顶点）且满足
A1A
•
A1B
=0，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线l：x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点，若点P满足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
2
．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．
椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F1，F2，在x轴的两端点分别为A，B，四边形F1AF2B是边长为4的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且
MP
=3
PN
，求直线l的方程．

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