Question

若直线y=x+t与椭圆

x2

4

+y2=1相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，可求|AB|，从而可求|AB|的最大值．

解答：解：以y=x+t代入

x2

4

+y2=1，并整理得5x²+8tx+4t²-4=0①
因为直线与椭圆相交，则△=64t²-20（4t²-4）＞0，…（3分）
所以t²＜5，即-

5

＜t＜

5

，…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A（x₁，x₁+t），B（x₂，x₂+t），且x₁，x₂是方程①的两根．由韦达定理可得：

x1+x2=- 8t 5 x1•x2= 4(t2-1) 5

，…（6分）
所以，弦长|AB|²=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x₁•x₂]=2[(-

8t

5

)2-4•

4(t2-1)

5

]…（9分）
所以|AB|=

4

5

2

•

5-t2

，
所以当t=0时，|AB|取最大值为

4

5

10

．…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确计算弦长是关键．