Question

已知椭圆中心在原点，长轴在x轴上，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，两条准线间的距离为8．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得到椭圆短轴的三分之一的值，由此列式可以得到椭圆的半短轴的长，结合a²=b²+c²可以得到a²的值，所以椭圆方程可求；
（II）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的充要条件，可构造关于k的方程，解方程求出答案．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由题意得：

1 3 ×2b× 3 2 =c 2• a2 c =8

，即

b= 3 c a2=4c

              …（3分）

又a²=b²+c²
∴c=1，b=

3

，a=2
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                          …（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程：

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

 化简得：（3+4k²）x²+16kx+4=0

则x₁+x₂=

-16k

3+4k2

，x₁•x₂=

4

3+4k2

         …（8分）
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4
∵OA⊥OB
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0              …（10分）
∴（1+k²）

4

3+4k2

+2k•

-16k

3+4k2

+4=0
解得：k²=

4

3

∴k=±

2 3

3

                  …（12分）
经检验满足△＞0
∴当k=±

2 3

3

时，OA⊥OB．                …（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．