Question

【题目】已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．

（3）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值；（3）.

【解析】

（1）由f（0）＝2，可以求出c 的值，再利用f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1可以求出a和b的值，进而求出函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）是二次函数，利用二次函数在[﹣1，2]的单调性可以求出最大值和最小值；（3）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出m的取值范围。

（1）由f（0）＝2，得c＝2，

又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1

得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，

所以f（x）＝x2﹣2x+2．

（2）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1在[﹣1，2]内，

所以f（x）在[﹣1，1]单调递减，在（1，2]单调递增，

故fmin（x）＝f（1）＝1，

又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，而5>2

所以fmax（x）＝f（﹣1）＝5．

（3）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，

则满足即

解得：.

故答案为.