Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是BC，A₁D₁的中点．
（1）求证：四边形B₁EDF是菱形；
（2）求AD与面B₁EDF所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证四边形B₁EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；
（2）证明直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B₁EDF所成的角；

解答：证明：（1）取AD中点H，连接BH，FH，
易证：FHBB₁为矩形，
因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．
又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，
∴FB₁∥DE，FB₁=DE，
∴FB₁ED为平行四边形．
又∵FD=DE=

5

2

a，
∴四边形B₁EDF为菱形．
解：（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B₁EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B₁EDF是菱形
∴DB₁为∠EDF的平分线
∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁．
在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=

2

a，B₁D=

3

a，
∴cos∠ADB₁=

a2+3a2-2a2

2×a× 3 a

=

3

3

∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为arccos

3

3

；

点评：此题是个中档题．考查的知识点是直线与平面所成的角，其中求出直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁是解答的关键．