Question

（理科做）如图，已知棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱AA₁上的一点，且A₁P：PA=m：n．
（I）在AB上找出一点Q，使C₁P⊥PQ；
（II）求当C₁P⊥PQ时，线段AQ的长．

Answer 1

分析：（I）直接设出A₁P=x，AP=1-x，AQ=y；根据直角三角形求出RT△C₁PQ三边长，结合勾股定理即可求出点Q所满足的条件；
（II）直接由第一问的结论即可得到线段AQ的长．

解答：解：（I）设A₁P=x，AP=1-x，AQ=y．
∴

x

1-x

=

m

n

⇒x=

m

m+n

，AP=

n

m+n

∴C₁P=

A1C12+A1P2

=

( 2 )2+ x2

=

2+( m m+n )2

；
PQ=

AP 2+AQ2

=

( n m+n ) 2+y 2

；
C₁Q=

CC 12+CQ 2

=

CC 12+CB 2+BQ 2

=

12+12+(1-y) 2

；
因为C₁P⊥PQ，
∴C 1P2+PQ 2=C 1Q2⇒2+(

m

m+n

)2+(

n

m+n

) 2+y²=2+（1-y）²⇒y=

mn

(m+n) 2

；
∴当AQ=

mn

(m+n) 2

时C₁P⊥PQ；
（II）由第一问得：AQ=

mn

(m+n) 2

．

点评：本题是中档题，考查直角三角形的利用以及长方体的性质，考查计算能力．解决本题的关键在于利用勾股定理求出AQ的长．