Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
（1）求证：四边形MNA₁C₁是梯形；
（2）求证：∠DNM=∠D₁A₁C₁．

Answer 1

分析：（1）欲证四边形MN A₁C₁是梯形，只须证其一组对边平行且不等即可，连接AC，在△ACD中，M，N分别是棱CD，AD的中点，根据三角形的中位线定理即可证得；
（2）根据平行公理可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，从而有∠DNM与∠D₁A₁C₁相等或互补，而∠DNM与∠D₁A₁C₁均是直角三角形的锐角，故可证出∠DNM=∠D₁A₁C₁

解答：证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=

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2

AC．由正方体的性质得：AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁．
∴MN∥A₁C₁，且MN=

1

2

 A₁C₁，即MN≠A₁C₁，
∴四边形MN A₁C₁是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，
∴∠DNM与∠D₁A₁C₁相等或互补，而∠DNM与∠D₁A₁C₁均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D₁A₁C₁

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、空间位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．