Question

7．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若$\frac{a}{sinB}$+$\frac{b}{sinA}$=2c，则△ABC是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 锐角三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}=2sinC$，而$\frac{sinA}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinA}$≥2$\sqrt{\frac{sinA}{sinB}•\frac{sinB}{sinA}}$=2，当且仅当sinA=sinB时取等号，即2sinC≥2，解得∠C=90°，A=B，从而得解．

解答 解：∵$\frac{a}{sinB}$+$\frac{b}{sinA}$=2c，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}=2sinC$，而$\frac{sinA}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinA}$≥2$\sqrt{\frac{sinA}{sinB}•\frac{sinB}{sinA}}$=2，当且仅当sinA=sinB时取等号．
∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC=1，
∴∠C=90°．
又∵sinA=sinB，可得A=B，
故三角形为等腰直角三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函数的图象和性质，属于中档题．