题目内容
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=$\frac{π}{3}$,且(sinA-sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=$\frac{3}{7}$sinBsinC.(Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)若a=5,求△ABC的面积.
分析 (Ⅰ)化简已知等式,利用正弦定理可得a2-b2-c2=-$\frac{11}{7}$bc,由余弦定理可得:cosA,可求sinA,从而利用cosC=-cos(A+B)即可得解.
(Ⅱ)先求sinC,由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$,利用三角形面积公式即可得解.
解答 解:(Ⅰ)∵B=$\frac{π}{3}$,且(sinA-sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=$\frac{3}{7}$sinBsinC.
∴sin2A-(sinB-sinC)2=$\frac{3}{7}$sinBsinC.
∴sin2A-(sin2B+sin2C-2sinBsinC)=$\frac{3}{7}$sinBsinC.
∴由正弦定理可得:a2-b2-c2=-$\frac{11}{7}$bc.
∴由余弦定理可得:cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{11}{14}$,sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{11}{14}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{7}$.
(Ⅱ)∵a=5,sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,B=$\frac{π}{3}$,sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$.
∴由正弦定理可得:b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×5×7×$$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$.
点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用,考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,属于基本知识的考查.
A. | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B. | -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D. | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ |
A. | 等边三角形 | B. | 锐角三角形 | C. | 等腰直角三角形 | D. | 钝角三角形 |