Question

过点作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：方法一：利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程．
方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，即可得出切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，利用切线的性质和点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到切线的距离d=r，可得斜率k，进而得到切线方程和切点．
解答：解：方法一：设点P，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：．与方程x²+y²=1相减得．
令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．
∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．
∴c=1，b=2．a²=b²+c²=5．
∴椭圆的方程为．
方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；
设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，化为2kx-2y+1-2k=0，则，解得，得切线方程为3x+4y-5=0．
联立解得切点B．
∴直线AB的方程为：2x+y-2=0．以下同方法一．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、两圆的根轴方程的求法、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．