Question

（2012•长春模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），点F₁关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上．
（I）求椭圆方程；
（II）点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=b²上，M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P、Q两点，问|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），可得c值，点F₁关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得结论．

解答：解：（I）∵右焦点为F₂（1，0）∴c=1
左焦点为F₁（-1，0），点P( 1 ， 

3

2

)
在椭圆上2a=|PF1|+|PF2|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1-------------------------------------（4分）
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1(|x1|≤2)
|PF2|2=(x1-1)2+

y

2 1

=(x1-1)2+3(1-

x 2 1

4

)=

1

4

(x1-4)2
∴|PF2|=

1

2

(4-x1)=2-

1

2

x1--------------------------------------------------------．（7分）
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|2=|OP|2-|OM|2=

x

2 1

+

y

2 1

-3=

x

2 1

+3(1-

x 2 1

4

)-3=

1

4

x

2 1

∴|PM|=

1

2

x1
∴|PF2|+|PM|=2-

1

2

x1+

1

2

x1=2---------------------------------------------------．（10分）
同理可求
|QF2|+|QM|=2-

1

2

x2+

1

2

x2=2
所以|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4为定值．-------------------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．