Question

14．从曲线x²+y²=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为$\frac{π}{2+π}$．

Answer 1

分析 分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论．

解答 解：分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，
这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，
当x＞0，y＞0，原方程可化为：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圆心在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆在第一象限的部分．
当x＞0，y≤0，原方程可化为：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圆心在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆在第四象限的部分．
当x≤0，y＞0，原方程可化为：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圆心在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆在第二象限的部分．
当x≤0，y≤0，原方程可化为：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
它表示圆心在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆在第三象限的部分．
综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．
这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．
所以总面积S=（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²π•2=2+π，
故该点在单位圆中的概率p=$\frac{π}{2+π}$，
故答案为：$\frac{π}{2+π}$．

点评 本题考查圆的一般方程，考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．