Question

已知数列{a_n}满足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），数列{b_n}前n项和Sn=

3

2

n2-

1

2

n，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据前n项和与第n项的关系求出数列{b_n}的通项公式，再由{a_n}满足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），求出数列{a_n}的
通项公式．
（2）先求出数列{c_n}的通项公式，再利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n ．
（3）先判断数列{c_n}的单调性，可得其最大值，要使cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，只要数列{c_n}的最大值小于或等于

1

4

m2+m-1即可，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由已知得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

3

2

n2-

1

2

n)-(

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1))=3n-2，
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故数列{b_n}的通项公式b_n=3n-2．
又∵

a

3 n

=4-(bn+2)，
∴an=4-

(bn+2)

3

=4-

(3n-2)+2

3

=(

1

4

)n，
故数列{a_n}的通项公式为an=(

1

4

)n．
（2）cn=anbn=(3n-2)•(

1

4

)n，
Tn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)×(

1

4

)n①，

1

4

Tn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1②，
①-②得 

3

4

Tn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴Tn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1═

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．
（3）∵cn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=(

1

4

)n•[

3n+1

4

-(3n-2)]=-9•(

1

4

)n+1(n-1)，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1≤c_n，∴(cn)max=c1=c2=

1

4

．
若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，则只要

1

4

m2+m-1≥

1

4

即可，（m+5）（m-1）≥0，
解得 m≤-5，或m≥1，
故实数m的取值范围为（-∞，-5]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，用错位相减法、公式法进行数列求和，函数的恒成立问题，
属于难题．