Question

在平面直角坐标系中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（0＜b＜1）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，求：
（Ⅰ）圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=2-x能否将圆C分成弧长之比为l：2的两段弧？为什么？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设所求的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，根据x²+Dx+F=0和 x²+2x+b=0为同一个方程，可得 D=2，F=b；根据y²+Ey+b=0 和y=b为同一个方程，故有b²+Eb+b=0，可得E=-（1+b），从而求得圆的方程．
（Ⅱ）设直线与圆C交于A、B两点，取线段AB的中点为D．若直线能将圆C分成弧长之比为l：2的两段弧，则∠ACD=60°，则由cos∠ACD=

1

2

=

CD

AC

，可得CD=

1

2

AC．再由点到直线的距离公式可得CD=

|b-5|

2 2

，求得b=3，或 b=15，这都不满足0＜b＜1，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）对于二次函数f（x）=x²+2x+b（0＜b＜1），由题意可得△=4-4b＞0，二次函数与y轴的交点为（0，b）．
设所求的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0，可得为x²+Dx+F=0．
由于为x²+Dx+F=0和 x²+2x+b=0为同一个方程，∴D=2，F=b．
在为x²+y²+Dx+Ey+F=0中，令x=0，可得 y²+Ey+b=0，由于它和y=b为同一个方程，故有b²+Eb+b=0，∴E=-（1+b），
故圆的方程为 x²+y²+2x-（1+b）y+b=0．
（Ⅱ）设直线y=2-x与圆C交于A、B两点，根据圆心为（-1，

1+b

2

）、半径为

1

2

4+(1-b)2

，取线段AB的中点为D．
若直线能将圆C分成弧长之比为l：2的两段弧，则∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，CD⊥AB，则由cos∠ACD=

1

2

=

CD

AC

，∴CD=

1

2

AC．
再由点到直线的距离公式可得CD=

|-1+ 1+b 2 -2|

2

=

|b-5|

2 2

，
∴=

|b-5|

2 2

=

1

4

4+(1-b)2

，求得b=3，或 b=15，这都不满足0＜b＜1，故直线y=2-x不能将圆C分成弧长之比为l：2的两段弧．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．