Question

18．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{11}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{14}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{11}}{6}$
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 分三种情况分别计算棱锥的体积即可．

解答 解：（1）若底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1；
设AB=1，AB的中点为E，则AB⊥CE，AB⊥DE，
∴AB⊥平面CDE，
∵CE=DE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，CD=2，∴cos∠CED=$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}-C{D}^{2}}{2CE•DE}$=$\frac{7}{15}$，
∴sin∠CED=$\frac{4\sqrt{11}}{15}$．
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{4\sqrt{11}}{15}×1$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$．
（2）若底边长为1，1，1，侧棱长为2，2，2；
设底面中心为O，则OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴棱锥的高h=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{11}{3}}$，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$．
（3）若底面边长为2，2，1，侧棱长为2，2，1，
设AB=CD=1，其余各棱长均为2，由（1）可知cos∠CED=$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}-C{D}^{2}}{2CE•DE}$=$\frac{13}{15}$，
∴sin∠CED=$\frac{2\sqrt{14}}{15}$，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{2\sqrt{14}}{15}×1$=$\frac{\sqrt{14}}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．