Question

13．已知函数f（x）=acosx+$\frac{1}{2}$sinx+1的一个零点是-$\frac{5π}{6}$．
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当f（α）=$\frac{9}{5}$，且$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$时，求sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得acos（-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{5π}{6}$）+1=0，利用特殊角的三角函数值即可解出a的值，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值可求f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，结合正弦函数的单调性，解关于x的不等式即可得到f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，根据角的范围及同角三角函数基本关系式可求cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=acosx+$\frac{1}{2}$sinx+1的一个零点是-$\frac{5π}{6}$．
∴acos（-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{5π}{6}$）+1=0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+1=0，
∴解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx+1=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{9}{5}$，可得：sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
又∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，可得：α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题给出三角函数式，求实数a的值并求函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换、不等式的解法和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．