题目内容
12．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=126，那么${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中的常数项为（ ）| A． | -15 | B． | 15 | C． | 20 | D． | -20 |
分析 由条件求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中的常数项．
解答 解：∵（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
∴令x=1，可得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an=126，即 $\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=126，2n+1=128，∴n=6．
根据 ${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$ 的通项公式为Tr+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）r•x3-r，
令3-r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为-${C}_{6}^{3}$=-20，
故选：D．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | 直线y=-$\frac{1}{2}$x | B． | 直线y=$\frac{1}{2}$x | C． | 直线y=-$\frac{1}{2}$ | D． | 直线x=-$\frac{1}{2}$ |
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